成人高考专升本高等数学二之概率论初步--“一维随机变量及其数字特征”的学习知识点分为3点：随机变量的概念、离散型随机变量和随机变量的数字特征。并结合例题分析加强本知识点的理解。

　　一、学习目标：

　　1.了解随机变量的概念及其分布函数。

　　2.理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。

　　3.会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。

　　二、基本知识

　　1.随机变量的概念

　　例1 在独立试验序列中，若ε是在n次试验中事件A出现的次数，则｛n次试验中A出现k次｝这一事件就可简单地记作为｛ε=k｝，而$的可能取值就是A可能出现的次数0，1，2，...，n。

　　例2 考察电话总机在单位时间内接到呼唤的次数，若记其为ε，则｛ε=k｝就表示(单位时间内接到k次呼唤)这一事件，而ε可能取值为0，1，2，...，n。

　　例3 考察某产品的寿命，若记：为该产品的寿命(年)，则

　　ε=t|=(产品寿命为t年)

　　ε的可能取值范围为[0,+∞)。

　　这些例子中出现了变量ε，这个变量取什么值，在每次试验前是不能确定、无法预测的。因为这种变量的取值依赖于试验的结果，也就是说，它的取值具有随机性，所以，称这种变量为随机变量.用一句通俗的话来说，随机变量就是随着试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量。

　　试验结果与随机变量之间的对应关系，也就是样本点与实数之间的对应关系。所以，如果要用严格的数学语言来表达，则有下列定义：

　　定义1 设Ω为某随机试验的样本空间，若对任何ω∈Ω，有唯一实数ε(ω)与之对应，则称ε(ω)为随机变量。

　　2.离散型随机变量

　　如果随机变量ε可能取的值为有限个或可列个，即它可能取的值是这样的数集，其中所有的数可按一定的顺序排列，从而可表示为数列x₁，x₂，…,xn,…，这种类型的随机变量称为离散型随机变量。

　　对于离散型随机变量的概率分布的研究，我们只要知道随机变量ε所取的一切可能值x₁，x₂，...,xn,...，以及它取这些值的概率P₁，P₂，…，Pn，…，就可得到ε的统计规律

　　P｛ε=xᵢ｝=Pᵢ；(i=1， 2…)

　　通常习惯将它们写成如下的表格形式：

　　由概率的性质可知，任一离散型随机变量的概率分布｛pᵢ｝，必须满足以下两条性质：

　　(1)Pᵢ≥0(i=1，2，…)；

　　反之，满足此两条性质的一组数均可是某个随机变量的概率分布。

　　3.随机变量的数字特征

　　(1)离散型随机变量的数学期望

　　例4 甲、乙两射击手，他们击中的环数分别为随机变量ε和η”，且他们的概率分布已知如下：

　　试问哪一个射手水平高些?

　　这个问题的答案并不能一眼看出。我们这样来分析，设甲、乙两射击手各射了N发，打中的总环数大约为

　　甲：8x0.3N+9x0.2N+10×0.5N=9.2N，

　　乙：8x0.2N+9x0.5N+10×0.3N=9.1N.

　　由此可知，平均起来甲每发射中9.2环，乙每发射中9.1环，故甲射手平均水平高于乙射手。

　　受上例启发，我们引入离散型随机变量的数学期望的定义。

　　定义2  设ε是一离散型随机变量， 其概率分布为P｛ε=x｝=p(x)(k=1，2，…）。

　　若级数绝对收敛， 则称为占的数学期望， 记为Eε，即

　　若发散， 则称ε的数学期望不存在。

　　数学期望简称为期望或称为均值。

　　(2)方差的定义

　　例5 甲、乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10.0mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲、乙两机订的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴直径的测试尺寸(单位mm)如下：

　　甲：9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2

　　乙：9.0 9.2 9.4  10.6 10.8 11.0

　　易知甲、乙两组产品的直径均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异甚大，甲组全为全格品，乙组全为废品。这里质量差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同，甲组的离散程度小，质量较稳定；乙组的离散程度大，质量不稳定。

　　为了衡量一个随机变量对于均值的离散程度，可以用|ε-Eε|的均值来表示，称为ε的绝对离差，用E|ε-Eε|表示，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度，这样引入方差的概念。

　　定义3 若E(ε-Eε)² ”存在，称它为随机变量ε的方差，记为Dε或Var(ε) ，即

　　Dε=E（ε-Eε）²

　　在应用上常用与随机变量ε具有相同量纲的量（高等数学二-图9），记为（高等数学二-图10），称为标准差或均方差。

　　由方差的定义可知，方差总是一个非负数。

　　对于离散型随机变量有

　　其中(k=1，2，…)为ε的概率分布。

　　关于随机变量的方差的计算有如下重要的公式：

　　DE=Eε² -（Eε）²

　　四、例题分析

　　例1  三人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。

　　解 设B=｛密码被译出｝,Aᵢ=｛第i人译出密码｝（i=1，2，3），则A₁,A₂,A₃相互独立,且P(A₁)=1/5，P(A₂)=1/3,P(A₃)=1/4，则

　　例2  一承包商对三项工程A、B、C投标，三项工程中每一项得标的概率分别为P(A)=0.5，P(B)=0.8，P(C)=0.2。假设事件A,B,C是相互独立的.求该承包商得标的工程总数的概率分布。

　　解：设该承包商得标的工程总数为ε，则随机变量ε的可能取值为0,1,2,3.由事件A,B,C的独立性可求得：

　　所以的概率分布为:

　　工程中常用下列概率分布图(图5-7)表示该概率分布：

　　知道了随机变量的概率分布，也就不难计算随机变量落在某区间或小于某数的概率

　　例中：

　　P｛0<ε<3｝=P｛ε=1｝+P｛ε=2｝=0.84

　　所以概率分布可以全面描述离散型随机变量的统计规律。