一、学习目标

　　1.了解二阶线性微分方程解的结构。

　　2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法”，其中Pn(x)为x的n次多项式，a为实常数]。

　　二、基本知识

　　1.二阶线性微分方程解的结构

　　形如

　　的方程称为二阶线性微分方程，其中p(x)，q(x)，f(x)为x的已知函数，y为未知函数。

　　如果方程(7.8)中f(x)=0、即

　　称为二阶齐次线性微分方程。

　　相应地，方程(7.8)称为二阶非齐次线性微分方程。方程(7.9)也称为方程(7.8)对应的齐次线性微分方程。

　　若常数时，称y₁(x)，y₂(x)线性无关。

　　设y₁(x)，y₂(x)是二阶齐次线性微分方程(7.9)的两个线性无关的特解，则(7.9)的通解为

　　y=c₁g₁y₁(x) +c₂y₂(x)(其中c₁，c₂，是任意常数)。

　　设yⁿ(x)是二阶线性微分方程(7.8)的一个特解，y₁(x)，y₂(x)是对应的齐次线性微分方程(7.9)的两个线性无关的特解，则(7.8)的通解为

　　y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+yⁿ(x)(其中c₁，c₂是任意常数)。

　　2.二阶常系数齐次线性微分方程

　　形如

　　yⁿ+pyⁿ+qy=0.(p，q是实常数)（7.10）

　　的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。

　　r²+pr+q=0。(7.11)

　　称为方程(7.10)的特征方程.设r₁和r₂是(7.11)的特征根，则

　　(1)当r₁≠r₂是两个不相等的实特征根时，方程(7.10) 的通解为，其中

　　c₁、c₂为任意常数。

　　(2)当r₁=r₂是两个相等的实特征根时， 方程(7.10) 的通解为，其中

　　c₁、c₂为任意常数。

　　(3)当r₁=r₂+βi与r₂=α-βi是一对共轭复特征根时，方程(7.10)的通解为y=其中c₁，c₂为实常数

　　3.二阶常系数非齐次线性微分方程

　　形如

　　其中p，q为实常数，f(x)为x的已知函数，称为二阶常系数非齐次线性微分方程。

　　解的结构：

　　①若c₁y₁+c₂y₂) 是方程(7.10) 的通解， yⁿ是方程(7.12) 的一个特解， 则

　　y=c₁y₁+c₂y₂+yⁿ

　　是方程(7.12)的通解。

　　②若y₁ⁿ，y₂ⁿ分别是方程

　　yⁿ+py’+qy=f₁(x),

　　yⁿ+py’+qy=f₂(x),

　　的特解，则y₁ⁿ+y₂ⁿ是方程

　　yⁿ+py’+qy=f₁(x)+f₂(x)

　　的特解。

　　③(其中p，q，α是实常数，Pn(x)为x的n次多项式)特解的求法.可设特解为

　　其中Qn(x)是x的n次待定多项式，A按α是否为特征方程r²+pr+q=0的根来确定：

　　④ (其中p，q，α，β，A，B是实常数) 特解的求法。

　　可设特解为

　　其中a，b是待定的常数，k按α+βi是否为特征方程户r²+pr+q=0的根来确定：

　　关于③和④，得到特解后，连同)代人方程(7.12)后，与f(x)比较对应项的系数，求出待定系数后可得其一个特解。