一、学习目标：

　　1.理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

　　2.掌握可分离变量方程的解法。

　　3.掌握一阶线性方程的解。

　　二、基本知识：

　　1.微分方程的概念

　　表示未知函数与未知函数的导数以及自变量之间关系的方程F(x,y,y’,…y⁽ⁿ⁾）=0     (7.1)称为微分方程。

　　包含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程,称为常微分方程。

　　微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。

　　若一个函数y=f(x)代入微分方程能使该方程成为恒等式,这个函数就称为该微分方程的解。

　　若微分方程的解中含有独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。

　　通解不一定是一切解。

　　当x=x₀时,令y=y₀,y’=y’₀,…,y⁽ⁿ¯¹⁾=y₀⁽ⁿ¯¹⁾,或记为

　　称它们为n阶微分方程的初始条件。

　　满足初始条件,使通解中的任意常数得以确定的解称为微分方程(7.1)的特解。

　　微分方程解的图形称为积分曲线.因为微分方程的通解中含有任意常数,当它们取不同的值时,可以得到不同的积分曲线,所以方程通解的图形是一族积分曲线,称为微分方程的积分曲线族.微分方程某个特解的图形就是积分曲线族中满足某一初始条件的一条特定的积分曲线。

　　2.可分离变量的方程

　　形如

　　     (7.2)

　　或

　　　(7.3)

　　的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程。

　　对该类方程的求解方法是将(7.2)化为

　　或将(7.3)化为

　　再对方程的两端积分得

　　或

　　为所给方程的通解

　　3.可化为变量可分离的微分方程

　　(1)型的方程

　　作适当的变换可将其转化为变量可分离方程.令u=ax+by+c,两端同时对x求导,得

　　代入原方程,得

　　即

　　上式为以u(x)为未知函数的变量可分离方程.分离变量并积分,得

　　(2)的方程作变换 ,即,两端同时求导,得

　　代入原方程,得

　　故

　　.

　　上式为以u(x)为未知函数的变量可分离方程。分离变量并积分,得

　　4.一阶线性方程

　　形如

　　(7.4)

　　的方程称为一阶线性微分方程,其中p(x),f(x)为x的已知函数,y为未知函数

　　如果方程(7.4)中f(x)=0,即

　　(7.5)

　　称为一阶齐次线性微分方程。

　　相应地,方程(7.4)称为一阶非齐次线性微分方程.方程(7.5)也称为方程(7.4)对应的齐次线性微分方程。

　　(1)一阶齐次线性微分方程的解法

　　方程(7.5)是变量可分离的方程将其分离变量,得

　　，

　　两边积分得

　　，

　　故方程(7.5)的通解为

　　(7.6)

　　其中c为任意常数

　　在解微分方程时,常用任意常数c来代替任意常数等,也经常在一开始就把任意常数记为，这样修改任意常数是为了使结果简明。

　　(2)一阶非齐次线性微分方程的解法

　　用常数变易法可求出其通解

　　(7.7)

　　实际计算时可以直接利用上述公式求解,也可以记方法而不死记公式.首先由求出方程

　　(7.5)的通解,把c看作x的函数c(x),把代入(7.4)确定

　　c(x),从而求得方程(7.4)的通解.由

　　，

　　得，

　　代入(7.4)得

　　由此得到

　　积分得

　　从而得到方程(7.4)的通解(7.7).此方法称为常数变易法。